7, 11, 13の倍数の見分け方がおもしろい!【中学受験】

算数が3倍おいしくなるブログ
2019.08.10 / 中学受験

7, 11, 13の倍数の見分け方がおもしろい!【受験算数】

7の倍数、11の倍数、13の倍数は、倍数の見分け方はなんとすべて同じなのです。知っているとちょっとした自慢になるかも。どうしてこの方法で見分けることができるのかを考えてみるのが本当の算数のおもしろさです。

〇の倍数を見分ける方法、考え方の基本

(1) 数字を10進法の式で表す。

ABCという3けたの数字があったとしましょう。10進法で表す数は、次のような式で表すことができます。

ABC=A×100+B×10+C×1

72534という数字は、
7×10000+2×1000+5×100+3×10+4×1

(2) 10進法の式を変形する

問題の数字が〇の倍数であるかを確かめるためには、10進法の式で表したあとに変形していって、

〇の倍数+それ以外

という形に直すことです。
すると、「それ以外」が〇の倍数であれば、その数字が〇の倍数とわかります。

(3) 7と11と13の倍数の見分け方のポイント

1001=7×11×13
つまり、1001の倍数であれば、7、11、13の倍数でもあることを利用します。

さっそく具体的に見ていきましょう。

≫ 3~13までの倍数の見分け方を一挙に紹介
≫ N進法の考え方をわかりやすく解説

【7, 11, 13の倍数】7, 11, 13の倍数か見分ける方法は同じ

(1) 数字を一の位から3つずつにくぎって3けたの数字にわけます。
(英語の数字の表記と同じで1000ごと)

(2) 3けたの数字をひとつ飛ばしで足してそれぞれの和を求めます。

(3) 2つの和の差を求めて7, 11, 13の倍数であれば、その数字は7, 11, 13の倍数です。

実際にやってみましょう。
「123450789」は、7の倍数か、11の倍数か、13の倍数かを見分けます。

(1) 一の位から3つずつにくぎって3けたの数字にわけます。
123450789=123,450,789

(2) ひとつ飛ばしで足してそれぞれの和を求めます。
123+789=912(青の数字をたす)
450(赤の数字をたす)

(3) 2つの和の差を求める(大きい方から 小さい方を引く)
912450=462

462=7×11×6

なので、462は7の倍数、11の倍数ですが、13の倍数ではないとわかります。
 

問題の数を、ABCDEFGHIとします。(A~Iは0~9の数字。A≠0)

(ABC+GHI)-DEF

が7の倍数、11の倍数、13の倍数であるかどうかでABCDEFGHIを見分けることができます。理由を考えてましょう。

【見分けられる理由】
(1) ABCDEFGHIを3つずつに区切ってわけます。

ABC, DEF,GHI


(2) ABCDEFGHIを10進法の式で表します。3けたごと(×1000)の省略形です。

ABC, DEF, GHI
ABC×1000000+ DEF×1000+GHI×1
ABC×1000×1000+ DEF×1000+GHI×1

(3) 1001が7, 11, 13の倍数であることに着目します。

1001=13×11×7

1000を1001-1におきかえます。

ABC×1000×1000 DEF×1000GHI×1
ABC×1000×(1001-1) DEF×(1001-1)GHI×1
ABC×1000×1001-ABC×1000×+ DEF×1001- DEFGHI×1
=1001×(ABC×1000+ DEFABC×1000- DEFGHI

1001でまとめました。×1001でくくった1001×(ABC×1000+DEF)はもう7, 11, 13の倍数と分かっていますので消していきます。残ったのは、

GHIABC×1000- DEF(-が前にこないように順番を変えてあります)

ここでまた1000を1001-1におきかえます。

GHIABC×1000 DEF
= GHI -ABC×(1001-1) DEF
= GHIABC×1001ABC DEF

×1001の項-ABC×1001は消していきます。残ったのは、

GHIABC)- DEF

この式で求められる数字が7, 11, 13の倍数であれば、ABCEFGHIも7, 11, 13の倍数であることがわかりました。

大きいけたでも同じことです。ABC DEF GHI JKFという数字であれば、
ABC+ GHI)-( DEF JKF)が7の倍数かどうかで見分けます。

【11の倍数】52739は11の倍数?11の倍数を見分ける別のワザを紹介。

大きいけたであれば、7の倍数や13の倍数を見分けるのと同じ方法でよいでしょう。5けた
以下のときなどはこちらの方法の方が早いかもしれません。

(1) 各けたの数字を一の位からひとつ飛ばしに足してそれぞれの和を求めます。

(2) 2つの和の差を求めて11の倍数であれば、その数字は11の倍数です。

実際にやってみましょう。
(1) 各けたの数字を一の位からひとつ飛ばしに足してそれぞれの和を求めます。

54769=5, 4, 7, 6, 9
5+79=21
46=10

(2) 2つの和の差を求めます。

2110=11

11は11の倍数なので、54769は11の倍数とわかります。

問題の数を、ABCDEとします。(A~Eは0~9の数字。A≠0)
まず、各けたの数字を交互に選んでグループ分けします(色別)。

ABCDE
青の数字を足します。

ACE

赤の文字を足します。
BD

の数字の和との数字の和の差が11の倍数であれば、ABCDEFGHIは11の倍数となります。

ACE)-(BD

【見分けられる理由】
(1) ABCDEを10進法の式で表します。

A×10000+B×1000+C×100+D×10+E×1

ここで利用するのは、

10=11-1
100=99+1=11×9+1
1000=1001-1=11×91-1
10000=9999+1=11×909+1

それぞれの数字をおきかえてみます。
A×10000B×1000C×100D×10E×1

A×(11×909+1)B×(11×91-1)C×(11×9+1)D×(11-1)E×1

=11×(A×909)+A+11×(B×91)-B+11×(C×9)+C+11×DDE →分配の法則

11×(A×909)+11×(B×91)+11×(C×9)+11×DABCDE →11でまとめる

11の倍数11×(A×909)+11×(B×91)+11×(C×99)+11×(D×1)は消してしまいましょう。残るのは、
ACE)-(BD(青か赤の大きい方から小さいほうを引く)
なので、これが11の倍数であれば、ABCDEも11の倍数だということになります。

練習してみましょう!

ひっ算を使わずに見分けましょう。

(1) 3374567482は13の倍数でしょうか。
(2) 648340433は7の倍数でしょうか。
(3) 9887766554433221109887は11の倍数でしょうか。

【解答】
(1) 3374567482=3,374,567,482
3+567=570
374+482=856
856-570=286
286=13×11×2
13の倍数です。

(2) 648340433=648,340,433
648+433=1081
1081-340=741
741=13×51
7の倍数ではない。

(3) 9887766554433221109887=9,887,766,554,433,221,109,887
9+766+433+109=2549
887+554+221+887=1232
2549-1317=1232=11×112
11の倍数です。

(参考)
9887766554433221109887を2けたずつの組にわけると、98, 87, 76, 65, 54, 43, 32, 21, 10, 98, 87
組の中の2つの数字の差はすべて1。これが11個あるので、

青の合計-赤の合計=(98)+(87)+(76)+(65)+(54)+(43)+(32)+(21)+(10)+(98)+(87)
=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=11とわかります。
なので、11の倍数です。

まとめ

7, 11, 13の倍数の見分け方は実は同じ。見分け方の理由を考えてみれば納得です。一見複雑なもののようでもその本質的な筋道はひとつというのも算数の面白さですね。見分け方を覚えることよりも考え方の理解にぜひチャレンジしてみてください。(実際、ひっ算の方が早いこともあります笑)
≫ 3~13までの倍数の見分け方を一挙に紹介

最後までお読みいただきありがとうございました。お子様の学習に少しでもお役に立てれば嬉しいです。

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