2019.10.19 ／算数おもしろ問題

1555554は7の倍数？1秒で見分ける方法

7の倍数の見分け方は実は11の倍数、13の倍数と同じです。どうして同じなの？そんな質問を頭においておくと学びの効果が高まります。最後には1555554が7の倍数かどうかを暗算で見分けられるようにしましょう。答えはこちら＊この記事は受験算数あるいはおもしろ問題に挑戦するレベルです。

〇の倍数を見分ける方法、考え方の基本

(1)　数字を10進法の式で表す。

ABCという3けたの数字があったとしましょう。10進法で表す数は、次のような式で表すことができます。

ABC=A×100+B×10+C×1

72534という数字は、
7×10000+2×1000+5×100+3×10+4×1

(2)　10進法の式を変形する

問題の数字が〇の倍数であるかを確かめるためには、10進法の式で表したあとに変形していって、

〇の倍数＋それ以外

という形に直すことです。
すると、「それ以外」が〇の倍数であれば、その数字が〇の倍数とわかります。

(3)　7の倍数の見分け方のポイント

1001=7×11×13
つまり、1001の倍数であれば、7の倍数でもあることを利用します。

さっそく具体的に見ていきましょう。

≫　11の倍数の見分け方
 ≫　13の倍数の見分け方
 ≫　3~13までの倍数の見分け方を一挙に紹介

7の倍数か見分ける方法

(1) 数字を一の位から3つずつにくぎって3けたの数字にわけます。
（英語の数字の表記と同じで1000ごと）

(2) 3けたの数字をひとつ飛ばしで足してそれぞれの和を求めます。

(3) 2つの和の差を求めて7の倍数であれば、その数字は7の倍数です。

実際にやってみましょう。
「123450789」は、7の倍数かどうかを見分けます。

(1) 一の位から3つずつにくぎって3けたの数字にわけます。
123450789=123,450,789

(2) ひとつ飛ばしで足してそれぞれの和を求めます。
123+789=912（青の数字をたす）
450（赤の数字をたす）

(3) 2つの和の差を求める（大きい方から　小さい方を引く）
912－450=462

462＝7×11×6

なので、462は7の倍数とわかります。

ABCDEFGHIという数で考えてみましょう。（A~Iは0～9の数字。Ａ≠０）

(ABC+GHI)-DEF

が7の倍数であるかどうかでABCDEFGHIを見分けることができます。理由を考えてましょう。

7の倍数、11の倍数、13の倍数を一気に見分けられる理由

(1) ABCDEFGHIを3つずつに区切ってわけます。

ABC, DEF,GHI

(2) ABCDEFGHIを10進法の式で表します。3けたごと（×1000）の省略形です。

ABC, DEF, GHI
＝ABC×1000000＋ DEF×1000＋GHI×1
＝ABC×1000×1000＋ DEF×1000＋GHI×1

(3) 1001が7, 11, 13の倍数であることに着目します。

1001=13×11×7

1000を1001－1におきかえます。

＝ABC×1000×1000＋ DEF×1000＋GHI×1
＝ABC×1000×(1001－1)＋ DEF×(1001－1)＋GHI×1
＝ABC×1000×1001－ABC×1000×＋ DEF×1001－ DEF＋GHI×1
=1001×（ABC×1000＋ DEF）－ABC×1000－ DEF＋GHI

1001でまとめました。×1001でくくった1001×（ABC×1000＋DEF）はもう7, 11, 13の倍数と分かっていますので消していきます。残ったのは、

GHI－ABC×1000－ DEF(－が前にこないように順番を変えてあります）

ここでまた1000を1001-1におきかえます。

GHI－ABC×1000－ DEF
= GHI －ABC×（1001－1）－ DEF
= GHI－ABC×1001＋ABC－ DEF

×1001の項－ABC×1001は消していきます。残ったのは、

（GHI＋ABC）－ DEF

この式で求められる数字が7, 11, 13の倍数であれば、ABCEFGHIも7, 11, 13の倍数であることがわかりました。

大きいけたでも同じことです。ABC DEF GHI JKFという数字であれば、
（ABC+ GHI）－（ DEF＋ JKF）が7の倍数、11の倍数、13の倍数かどうかを一気に見分けられます。

練習してみましょう！

ひっ算を使わずに見分けましょう。

(1) 3374567482は13の倍数でしょうか。
(2) 648340433は7の倍数でしょうか。
(3) 9887766554433221109887は11の倍数でしょうか。

【解答】
(1) 3374567482=3,374,567,482
3＋567=570
374＋482=856
856－570=286
286=13×11×2
13の倍数です。

(2) 648340433=648,340,433
648＋433=1081
1081－340=741
741=13×51
7の倍数ではない。

(3) 9887766554433221109887=9,887,766,554,433,221,109,887
9+766+433+109=2549
887+554+221+887=1232
2549－1317=1232=11×112
11の倍数です。

1555554は7の倍数？（答え）

1555554を、1/555/554のように3けたずつ区切ります。ひとつ飛ばしの和ですから、
1＋554＝555 555と555の2つの和の差ですから、
555－555＝0　
この導かれた数字で判断します。0の場合は割り切れるということです。1555554は7の倍数でした。
7の倍数の見分け方を知っていれば、暗算でも見分けられる数字ですね。