算数が3倍おいしくなるブログ
2019.10.15 / 小学五年生

最大公約数と最小公倍数の理解で算数力を底上げ

最大公約数と最小公倍数のアルアルは、「最小」公約数と「最大」公倍数。
…最小と最大が逆ですね。
基本のコンセプトをしっかり理解するともう迷うことはありません。

約数と倍数とは

「約数」とは、ある数をかけ算の形にしたときに出てくる数のことです。

「12」をかけ算の形にしてみましょう。
小さい数から1, 2, 3, 4…と調べていって、かけ算の相棒探します。

1×12
2×6
3×4
4×3→ここで前の3×4と同じになったので終わりです。

つまり、12の約数は、
1, 2, 3, 4, 6, 12, の6つでした。
1と12を忘れることが多いので注意しましょう。

「12」ファミリーのメンバーが約数たちです。

約数ファミリー

次に倍数とは、ある数をかけ算してできる数たちです。

「12」の倍数は、
12×1=12
12×2=24
12×3=36

無限に続きます。
「12」ファミリーが増殖するイメージです。

倍数ファミリー

公約数と公倍数とは

「公」という字は、「みんなの」とか「共通の」という意味です。
「公約数」の意味は、2つ以上の数の「共通の」約数ということ。
2つの数のファミリーの両方にいるメンバー(約数)ということですね。

では「12」ファミリーと「18」ファミリーの約数たちから公約数を探してみましょう。

12の約数は、1, 2, 3, 4, 6, 12でした。
18の約数も小さい数字から調べます。
1×18
2×9
3×6
6×3→これは3×6と同じなのでここで終わり。

18の約数は、1, 2, 3, 6, 9, 18とわかります。
1, 2, 3, 6の4つが12と18の「公約数」です。

公約数ファミリー

公倍数も同じく12の倍数と18の倍数に共通する倍数です。
12の倍数は、
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …

18の倍数は、
18, 36, 54, 72, 90, 108,…

公倍数

36, 72, 108…
公倍数は無限にあります。

最大公約数と最小公倍数とは

12と18の公約数は、1, 2, 3, 6, の4つでしたね。
最大公約数とは、この4つのうちいちばん大きいものです。
つまり6。

最大公約数

12と18の公倍数は、36, 72, 108…と無限にあります。
最小公倍数とは、公倍数のうち一番小さいものです。
つまり36。

ちなみに最大と最小を逆にしてみると…
「最小」公約数は、いつでも1。
「最大」公倍数は、無限大なので存在しません。

なので、最小公約数と最大公倍数という言葉は使いません。

最大公約数と最小公倍数の求め方(本題)

最大公約数と最小公倍数は、これまでのように小さい数から調べていくほかに、とても簡単な方法があります。

「はしご算」といって、逆にわり算をしていきます。

さっそく、12と18の最大公約数を求めてみましょう。
(1) 12と18をわり算のひっ算を逆さにした形の上に並べます。
(2) 12と18の両方をわれる数を小さい方から書き出します。このとき1の次から始ます。
2で割れますね。

12と18のはしご算1

(3) 12と18を2で割った答えを書いてはしごを増やしていきます。

12と18のはしご算2

(4) 次は、3で割れますね。
(5) 6と9を3で割った答えを書いたところで、2と3の両方を割れる数がなくなりました。

12と18のはしご算3

(6) 両方を割れる数を全部かけたもの(青)が、最大公約数になります。2×3=6。

12と18のはしご算4

(7) 両方をわれる数とわり算の最後の答えをかけたもの(赤)が、最小公倍数になります。2×3×2×3=36。

12と18のはしご算5

やり方は覚えてしまえば簡単ですね。大きい数でははしごがいくつも並びます。
最大公約数と最小公倍数の出し方だけを学びたい場合はここまででOKです。
いろいろな数の最大公約数と最小公倍数を求めて練習しましょう。

【練習】
1から100までで8でも12でも割り切れる整数をすべて求めなさい。

【答え】
8でも12でも割り切れる整数→8と12の公倍数、と理解するのがポイントです。
まずは、書き出す方法でやってみましょう。
100までの8の倍数は、8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96
12の倍数は、12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96
公倍数は、24, 48, 72, 96とわかりました。

ここで、気がつくのは、
24=24×1
48=24×2
72=24×3
96=24×4つまり、

公倍数は、最小公倍数の倍数であること。

このことを利用してもう一度問題をかんがえてみましょう。
はしご算ならすぐに最小公倍数が2×2×2×3=24とわかります。

8と12の最小公倍数

最小公倍数24の100までの倍数を求めればよいので、
24×1=24
24×2=48
24×3=72
24×4=96
24, 48, 72, 96が答えです。

*はしご算を、連除法と呼ぶこともあります。

はしご算の意味を理解すれば応用問題が解ける

12と18のはしご算にもどりましょう。
最大公約数(青のわく)と、12を割っていった最後の答え(青い文字)を全部かけると2×3×2=12になります。

最小公倍数と12

同じように最大公約数(青い列)と18をわっていった最後の答え3を全部かけると2×3×3=18になります。

このはしご算の仕組みを理解しておくことは、応用問題を解くときにとても重要になります。

12=最大公約数×2(最後の答え)
18=最大公約数×3(最後の答え)

2と3は、公約数が1以外ありません。
このような数字の関係を、「互いに素」と呼びます。

素数のところでも学びますので、今は言葉を記憶にいれておきましょう。

【練習】
「互いに素」であるものを選びましょう。
(1) 2と4 (2) 3と5 (3) 4と5 (4)4と6 (5)4と7

【答え】
(1) 2と4は、両方とも2で割れるので「互いに素」ではない。
(2) 3と5は、両方とも割れる数が1以外ないので「互いに素」。
(3) 4と5は、両方とも割れる数が1以外ないので「互いに素」。
(4) 4と6は、両方とも2で割れるので「互いに素」ではない。
(5) 4と7は、両方とも割れる数が1以外ないので「互いに素」。

よって、(2) (3) (5)。

【はしご算を使った応用問題に挑戦しよう】
2けたの整数AとBがあります。最大公約数が12、最小公倍数が240のとき、AとBを求めなさい。ただしA<Bとします。

【答え】
いままでの学んだことを使って、はしご算の形にしてみましょう。

練習問題の最大公約数と最小公倍数

A=12×a…①
B=12×b…②
12×a×b=240(最小公倍数)…③
aとbは「互いに素」です。

③から、
a×b=240÷12=20
20=
=1×20
=2×10
=4×5
ですので、互いに素な(a, b)にあたるのは、(1, 20)か(4, 5)とわかります。
a=1, b=20のとき、
A=12×1=12
B=12×20=240

a=4, b=5のとき、
A=12×4=48
B=12×5=60
*A<Bなのでa<b

AとBは2けたの整数なので、
(A, B)=(48, 60)が答えとなります。

3つ以上の数の最大公約数はカンタン、最小公倍数はちょっと注意

12, 42, 60の最大公約数と最小公倍数を求めるためにはしご算をやってみましょう。

3つの数の最大公約数

12, 42, 60のすべてを割れる数はなくなりました。
2×3=6が最大公約数です。

では最小公倍数は?

2と7と10を見てみましょう。2と10はまだ「互いに素」ではありません。
どちらも2で割れるのでこのまま続けてはしごをかけます。7は割れないのでそのままおろします。
1と7と5になりました。これで3つの数は互いに素になりましたね。
最小公倍数は、2×3×2×1×7×5=420になります。

3つの数の最小公倍数

もし、途中ではしご算をやめていると、
2×3×2×7×10=840となって、×2がよけいになってしまうので注意しましょう。

まとめ

最大公約数、最小公倍数は、一見かんたんそうなのでなんとなくやり過ごしてしまうと、問題が解けなくなります。便利なはしご算もやり方を覚えるだけでなく、意味をしっかり見直しておくことで、最大公約数、最小公倍数のコンセプトがしっかり理解できます。約数と倍数が得意になると、算数や数字への興味がぐんと増します。丁寧に教えてあげましょう。

チャ先生
文責

チャー先生:モンテッソーリ教育、脳科学、心理学、快適な学習環境づくりの経験を総動員して、苦手意識克服、受験に向けてがんばる子供たちやご家族の目標をサポートしています。







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