13の倍数を見分ける方法と算数の学び方

〇の倍数を見分ける方法、基礎となる考え方

(1)　数字を10進法の式で表す。

ABCという3けたの数字があったとしましょう。10進法で表す数は、次のような式で表すことができます。

ABC=A×100+B×10+C×1

72534という数字は、
7×10000+2×1000+5×100+3×10+4×1

(2)　10進法の式を変形する

問題の数字が〇の倍数であるかを確かめるためには、10進法の式で表したあとに変形していって、

〇の倍数＋それ以外

という形に直すことです。
すると、「それ以外」が〇の倍数であれば、その数字が〇の倍数とわかります。

(3)　13の倍数の見分け方のポイント

1001=7×11×13
つまり、1001の倍数であれば、13の倍数でもあることを利用します。

さっそく具体的に見ていきましょう。
≫　7の倍数の見分け方
≫　11の倍数の見分け方
≫　3~13までの倍数の見分け方を一挙に紹介

13の倍数を見分ける方法

実際にやってみましょう。
「123450789」は、13の倍数かを見分けます。

(1) 一の位から3つずつにくぎって3けたの数字にわけます。
123450789=123,450,789

(2) ひとつ飛ばしで足してそれぞれの和を求めます。
123+789=912（青の数字をたす）
450（赤の数字をたす）

(3) 2つの和の差を求める（大きい方から　小さい方を引く）
912－450=462

462＝7×11×6

なので、462は13の倍数ではないとわかります。
 

問題の数を、ABCDEFGHIとします。（A~Iは0～9の数字。Ａ≠０）

(ABC+GHI)-DEF

が13の倍数であるかどうかで、ABCDEFGHIが13の倍数かどうかを見分けることができます。理由を考えてましょう。

13の倍数を見分けられる理由（ここが肝心）

(1) ABCDEFGHIを3つずつに区切ってわけます。

ABC, DEF,GHI


(2) ABCDEFGHIを10進法の式で表します。3けたごと（×1000）の省略形です。

ABC, DEF, GHI
＝ABC×1000000＋ DEF×1000＋GHI×1
＝ABC×1000×1000＋ DEF×1000＋GHI×1

(3) 1001が13の倍数であることに着目します。

1001=13×11×7

1000を1001－1におきかえます。

＝ABC×1000×1000＋ DEF×1000＋GHI×1
＝ABC×1000×(1001－1)＋ DEF×(1001－1)＋GHI×1
＝ABC×1000×1001－ABC×1000×＋ DEF×1001－ DEF＋GHI×1
=1001×（ABC×1000＋ DEF）－ABC×1000－ DEF＋GHI

1001でまとめました。×1001でくくった1001×（ABC×1000＋DEF）はもう13の倍数と分かっていますので消していきます。残ったのは、

GHI－ABC×1000－ DEF(－が前にこないように順番を変えてあります）

ここでまた1000を1001-1におきかえます。

GHI－ABC×1000－ DEF
= GHI －ABC×（1001－1）－ DEF
= GHI－ABC×1001＋ABC－ DEF

×1001の項－ABC×1001は消していきます。残ったのは、

（GHI＋ABC）－ DEF

この式で求められる数字が13の倍数であれば、ABCEFGHIも13の倍数であることがわかりました。

大きいけたでも同じことです。ABC DEF GHI JKFという数字であれば、
（ABC+ GHI）－（ DEF＋ JKF）が13の倍数かどうかで見分けます。

黒板の問題の答え

14789788を、14/789/788のように1の位から3けたずつ区切ります。ひとつ飛ばしの和ですから、
14＋788＝802と789ができますね。この2つの和の差ですから、
802－789＝13　
この導かれた数字で判断します。13は当然13の倍数ですから、14789788は13の倍数というわけです。

ひっ算でたしかめてみましょう。答えは、1,137,676見事割り切れました！

「なぜ、そうなるのか」を考えることで思考力を鍛える

倍数の見分け方で学ぶのはまず視点をずらす面白さ。同じ数字でも形が変わると、いろんな法則が見えてくる。知恵と知恵がくっついて、新しい発想が光る瞬間です。難問に見えるのこの問題、たし算、引き算、かけ算しか使ってないのです。

未知なる問題に向かうためには、必ずしも難しい定理が必要なわけではありません。物事の本質を深く理解して対応していく、算数にはしなやかな思考力が大切です。
最後までお読みいただきありがとうございました。

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